SIR epidemic model

Model ten dzieli rozpatrywaną populację na trzy stany:

Liczba osób w danym stanie opisywana jest w funkcji czasu, odpowiednio I, S albo R. Jednocześnie w danym czasie t suma wartości tych trzech funkcji w tym punkcie czasu wynosi N (liczebność rozpatrywanej populacji). Model SIR bazuje na następujących równaniach różniczkowych, opisujących tempo przyrostu liczebności poszczególnych grup:

gdzie:

Współczynnik reprodukcji

Stanowi ważny parametr opisu dynamiki epidemii. Określa on średnią liczbę osób zakażonych przez jedną zainfekowaną osobę. $$R_{0}=\frac{\beta}{\gamma}$$

Osoby, które przebyły chorobę COVID-19, wykształcają odporność trwającą przez co najmniej 5-7 miesięcy. Stanowi to na tyle długi okres czasu, że tzw. "ozdrowieńców" zakwalifikować można do grupy R, co umożliwia zastosowanie modelu SIR w badaniu przebiegu epidemii SARS-COV-2.

Wykresy zmian liczby osób w poszczególnych stanach

Wykres dla $\beta$ = 0.15, $\gamma$ = 1/21

Wykres dla $\beta$ = 0.15, $\gamma$ = 1/14

Porównanie wykresów dla różnego czasu zdrowienia n = 1/$\gamma$

Zestawienie powyższych wykresów ilustruje zależność dynamiki przebiegu epidemii od czasu zdrowienia. Przyglądając się punktowi tzw. odporności zbiorowej, przyjmowanej jako R=70%, widać, że jest jest ona osiągana szybiej, gdy czas zdrowienia jest dłuższy (21 dni w porównaniu do 14 dni). Dzieje się tak ponieważ osobniki zakażone mają szansę zarażać dłużej, zanim wyzdrowieją, zatem fala zakażeń ma bardziej dynamiczny przebieg, większa liczba osób szybciej przechoruje, w konsekwencji czego odporność zbiorowa zostanie uzyskana szybciej.

Część Interaktywna

Runge-Kutta 4-point method

Initial conditions

Zadanie z równań różniczkowych

Interaktywne demonstracje

Należy wybrać jeden temat z pliku Mownit__ODE.pdf

Rozwiązaniem jest program pokazujący w interaktywny sposób rozwiązanie danego problemu obliczeniowego. Program powinien mieć graficzny interfejs użytkownika oraz umozliwiać dynamiczną interakcję poprzez zmianę parametrów. Język programowania oraz środowisko: dowolne. Proponowane rozwiązania:

Zadanie 2-tygodniowe